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Si un pentágono regular, un hexágono regular y un decágono regular están inscritos en círculos congruentes, entonces las longitudes de sus lados forman un triángulo rectángulo

La longitud del lado de un polígono regular de n lados es 2R sin(π/n) donde R es el radio del círculo que pasa por los vértices. Entonces, para demostrar que la razón entre el lado del hexágono y el lado del decágono es la proporción áurea φ, basta probar

sen(π/6) / sen(π/10) = φ


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from numpy import exp, pi, arange
import matplotlib.pyplot as plt

# Vertices of a hexagon
hexa = exp(2j * pi * arange(6) / 6)

# Vertices of a decagon, shifted and rotated
# to have a side perpendicular to the hexagon
deca = exp(2j * pi * (0.5 + arange(10)) / 10)
deca += hexa[1] - deca[5]

# Shift and rotate a pentagon to share one vertex
# with the hexagon and one vertex with the decagon
omega = exp(2j * pi / 5)
c = (hexa[2] * omega - deca[4]) / (omega - 1)
penta = c + (hexa[2] - c) * exp(2j * pi * arange(5) / 5)


def connect(p, q, c):
    plt.plot([p.real, q.real], [p.imag, q.imag], "-", color=c)


plt.gca().set_aspect("equal")

for n in range(-1, 5):
    connect(hexa[n], hexa[n + 1], "blue")
for n in range(-1, 9):
    connect(deca[n], deca[n + 1], "green")
for n in range(-1, 4):
    connect(penta[n], penta[n + 1], "red")

plt.show()